Учёт влияния отличия модулей упругости на сжатие и растяжение при расчёте на прочность армированных балок с заполнителем из фибропенобетона
Аннотация
Дата поступления статьи: 30.04.2013В статье исследуется влияние на нормальные напряжения неравенства модуля Юнга на растяжение и сжатие при изгибе армированной балки. Получены формулы для определения изгибающих моментов, возникающих в арматуре, сжатой и растянутой зоны заполнителя. Найдены формулы для нормальных напряжений произвольно опёртой армированной балки, произвольного поперечного сечения и произвольно нагруженной изгибающими нагрузками. На примере армированной балки прямоугольного поперечного сечения показано определение нейтральной линии и максимальных напряжений.
Ключевые слова: армированная балка,модуль упругости,нормальное напряжения, бетон
При расчёте железобетонных балок рекомендуется рассчитывать их по предельным состояниям, считая, что во всей растянутой зоне нормальные растягивающие напряжения достигли предельного разрушающего значения [1]. Далее расчёт на прочность железобетонной балки проводится с учётом только сжатой зоны [2]. При этом считается, что модули упругости на растяжение Ep и модуль упругости при сжатии Ec одинаковы. На самом деле для некоторых видов бетона, например для фибропенобетона, Ep ≠ Ec [3].
Целью данной работы является выяснить как влияет на прочность армированных балок учет отличия Ep и Ec для заполнителя [4,5].
Рассмотрим армированную бетонную балку произвольного поперечного сечения, произвольно опёртую и произвольно нагруженную изгибающими нагрузками, вызывающими плоский изгиб.
Обозначим:
My - изгибающий момент относительно нейтральной линии в произвольном поперечном сечении балки,
n – число стержней арматуры,
Ia - осевой момент инерции поперечного сечения одного стержня арматуры,
Ma - изгибающий момент, возникающий в одном стержне арматуры,
Ea - модуль упругости при растяжении стержней арматуры,
Mб - изгибающий момент, возникающий в бетонной части балки,
Mб+ - изгибающий момент, возникающий в растягивающей части бетона,
Eб+ - модуль упругости бетона (заполнителя) при растяжении,
Iб+ - осевой момент инерции растягивающей части бетона,
Mб– - изгибающий момент, возникающий в сжимающей части бетона,
Eб– - модуль упругости бетона (заполнителя) при сжатии,
Iб– - осевой момент инерции сжимающей части бетона.
Найдём формулы для определения изгибающих моментов, возникающих в стержнях арматуры, сжатой и растянутой части бетона (заполнителя) [6]. Используя методы сопротивления материаловимеем следующую зависимость между изгибающими моментами [7,8]
My = Mб+ + Mб– + n·Ma, где Mб = Mб+ + Mб– , (1)
(2), где
ρб+ - радиус кривизны растянутой зоны заполнителя (бетона),
ρб– - радиус кривизны сжатой зоны заполнителя (бетона),
ρa - радиус кривизны стержня арматуры,
ρ - радиус кривизны балки.
Формула радиуса кривизны имеет вид . Соответственно
(3)
Подставив (3) в (1), (2) , получим:
(4)
(5)
(6)
Найдём зависимость между нормальными напряжениями, возникающими в растягивающей и сжимающей зоне заполнителя (бетона) σб+, σб– и соответствующими изгибающими моментами [9].
Для заполнителей, у которых верен закон Гука σ = E·ε, можно использовать известные зависимости (7), (8) при выводе нормальных напряжений σ
(7)
Где Aб+, Aб– - площади поперечного сечения растянутой и сжимающей зоны заполнителя.
(8)
Подставив (8) в (7), найдём выражение для радиуса кривизны ρ нейтрального слоя:
(9)
Найдём выражения нормальных напряжений, возникающих в заполнителе, подставив (8) в (9).
(10)
(11)
Где z – расстояние от нейтральной линии 0y до точки, в которой определяется нормальное напряжение [10].
Для определения положения нейтральной линии воспользуемся условием:
Подставив (10), (11) в (12), получим выражение
и из этого выражения получаем формулу для определения положения нейтральной линии
(14)
Где Iyz+, Iyz– - центробежные моменты инерции относительно произвольных осей, но ось 0y перпендикулярна плоскости действия приложенных нагрузок.
Рассмотрим условие (13).
(15)
Где Sy+, Sy– - статические моменты инерции относительно нейтральной линии, совпадающей с осью 0y.
Для определения положения нейтральной линии из выражения (15) получаем:
(16)
Если ось 0z является главной осью, то условие (14) удовлетворяется тождественно и положение нейтральной линии определяется из условия (16).
Используя условие (16) и формулы (10),(11), найдём положение нейтральной линии и выражения максимальных растягивающих и сжимающих напряжений для армированных балок прямоугольного поперечного сечения:
,
, (17)
,
. (18)
Где hp- высота растягивающейся зоны, hc - высота сжимающейся зоны,
h = hc + hp - высота прямоугольного поперечного сечения балки.
Используя формулы (17), (18) для максимальных нормальных напряжений можно проводить расчёт на прочность как по допускаемым напряжениям, так и по предельным состояниям армированных балок прямоугольного поперечного сечения с любыми заполнителями, материал которых следует закону Гука. Таким требованиям, например, отвечает фибропенобетон .
Литература
- Андреев В.И., Языев Б.М. Выпучивание продольно сжатых стержней переменной жесткости при ползучести// Инженерный вестник Дона, вып. 4(ч.2), 2012
- Н. А. Бескопыльный, М. И. Кадомцев, А. А. Ляпин Методика исследования динамических воздействий на перекрытия пешеходного перехода при проезде транспорта // Инженерный вестник Дона, вып. 4, 2011f
- Моргун Л.В., Смирнова П.В., Моргун В.Н., Богатина А.Ю. Конструкционные возможности фибропенобетона неавтоклавного твердения// Ж. «Строительные материалы», 2012, №4. – С.14…16.
- Филин А.П. Прикладная механика твёрдого деформируемого тела. Т.1. - М. изд-во” Наука”, Гл. ред. физ.-мат. литературы, 1981.-832 с.
- Кадомцева Е.Э. Прочность при ударе по составной балке. ”Строительство 2009”, Материалы юбилейной международной научно- практической конференции/Ростовский государственный строительный университет - Ростов-на-Дону: редакционно-издательский центр РГСУ, 2009.-228с.
- Чепурненко А.С., Языев Б.М. Оптимизация формы поперечного сечения сжатых стержней из условия устойчивости//Научное обозрение. 2012. № 6. — С. 45-49.
- Fabrikant V.I. Applications of Potential Theory in Mechanics. Selection of New Results. Kluwer, 1989 (djvu)
- Fabrikant V.I. Mixed Boundary Value Problems of Potential Theory and thА. eir Applications in Engineering. Kluwer, 1991 (djvu)
- Чепуренко А.С., Андреев В.И., Языев Б.М. Построение модели равнопрочной многопролётной балки // Инженерный вестник Дона, вып. 1, 2013
- Языев Б.М. Устойчивость жесткого сетчатого полимерного стержня с учетом начальных несовершенств. – М.: Обозрение прикладной и промышленной математики, 2008, Том 15, вып. 2.