Математическое моделирование процессов в канале МГД-устройства с коническим осесимметричным каналом
Аннотация
Работа посвящена математическому моделированию процессов в канале МГД-устройства с конической осесимметричной формой канала. Сформулированы допущения, принимаемые при моделировании. Проведено математическое описание исследуемого объекта, в ходе которого определены уравнения составляющих плотности тока, магнитного поля и электромагнитных сил в конической части канала рассматриваемого устройства. Адекватность разработанной модели подтверждается результатами компьютерного моделирования процессов в канале устройства. Представлены выводы о применимости результатов данной работы.
Ключевые слова: МГД-устройство, конический осесимметричный канал, плотность тока в канале, математическая модель, электромагнитная сила
В настоящее время имеется большой задел в области исследований кондукционный и индукционных МГД-машин с различной формой канала, например, плоские, цилиндрические, дисковые, коаксиальные, конические, винтовые, которые предназначены для использования в самых разных деятельности человека, начиная с металлургии и заканчивая нетрадиционной энергетикой, морским транспортом [1, 2]. В то же время, процессы в канале конической формы является мало исследованным, и встречается в работах, посвященных электромагнитным преобразователям с коническим ротором [3], индукционным МГД-каналам конической формы во внешнем пульсирующем магнитном поле [4], и отсутствуют работы по кондукционным МГД-устройствам с конической осесимметричной формой канала. Это позволяет считать, что разработка математической модели процессов в канале МГД-устройства с конической осесимметричной формой канала является актуальной.
Процессы в данных устройствах описываются системой дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных для электрических и магнитных полей и для движущейся проводящей вторичной среды. Решение этих уравнений с учетом конструкции канала, граничных условий, нелинейности свойств вещества канала является сложной задачей. При учете краевых явлений, возникающих в зоне контактов электродов с проводящей вторичной средой у кондукционных машин, эта задача усложняется еще больше. Поэтому при решении задачи целесообразно принять допущения, которые являются общепринятыми при исследовании МГД-машин [1, 5]:
- процессы в устройстве рассматриваются в электродинамическом приближении. Рабочее вещество канала представляет собой твердый недеформируемый проводник с конечной проводимостью. Это означает, что гидродинамические, и специфические магнитогидродинамические процессы, вызванные влиянием электромагнитного поля на характер движения частиц не учитываются;
- рабочее вещество канала является изотропной и его магнитная проницаемость µ= µ0;
- температура рабочего вещества канала является постоянной, поэтому ее влиянием на такие параметры, как электропроводность можно пренебречь;
- переходные процессы вблизи границы перехода «электрод – рабочее вещество» не рассматриваются;
- стенки канала электрически изолированы от рабочего вещества, которым он заполнен.
Для исследования составлена расчетная схема рассматриваемого устройства с коническим каналом, которая представлена на рис. 1. Особенностью устройства является то, что в канале имеется конический участок.
Рис. 1 – Расчетная схема МГД-устройства с коническим осесимметричным каналом.
1 – индуктор, 2 – канал, 3 – изолятор.
Коническая часть канала ограничен условными размерными обозначениями R1, R2, R3 и Lк.
Токи в цилиндрических активных частях канала текут в осевом направлении, которое совпадает с осью z системы координат. В то же время в конической части канала ток будет растекаться, и необходимо определить его распределение. Для этого принимается предположение, что вектора плотности тока в конической части канала будет иметь вид, как показано на рис. 2.
Рис. 2 – Распределение векторов плотности тока в индукторе δ1 и в канале δ2
Тогда в радиальном направлении в конической части канала угол наклона векторов плотности тока меняется от α до нуля.
Вектора плотности в индукторе δ1 и в канале δ2, в цилиндрической частях, имеют только одну (осевую) составляющую. В конической части канала вектор плотности тока 
в канале может быть разложен на осевую 
и радиальную 
составляющие (рис. 3).
При выражении 
через его составляющие получается
где угол β - угол между векторами 
и 
. Может принимать значение от нуля до α.
Рис. 3 – Разложение на составляющие вектора плотности тока в конической части канала
Тогда согласно рис. 2 и 3, можно принять следующие условия:
1) проекция осевой составляющей плотности тока в канале на ось канала z неизменна;
2) проекция радиальной составляющей плотности тока в канале на ось r меняется в зависимости от угла β, который в свою очередь зависит от α.
С учетом первого условия, проекция на ось z осевой составляющей плотности тока в канале
,
где δ2 - модуль вектора плотности тока в канале.
Осевую составляющую вектора плотности тока δ2 в произвольной точке конической части канала можно определить согласно известной формуле
где I2 – ток в канале; St – функция изменения площади поперечного сечения в конической части канала от его длины.
Данная функция запишется следующим образом
(1)
где k = tgα – тангенс угла наклона образующей прямой внешней стенки канала к оси z.
Осевая составляющая плотности тока в произвольной точке конической части канала
(2)
По второму условию, проекция радиальной составляющей плотности тока в канале на радиальную ось
Радиальную составляющую плотности тока в канале можно определить, исходя из рис. 3 по следующему соотношению
Плотность тока в произвольной части канала будет определяться как
Граничные условия между каналом и индуктором таковы, что силовые линии магнитного поля, создаваемого током индуктора, будут пронизывать весь объем канала и по всей ее длине представляют собой концентрические окружности. При протекании тока в канале образуется собственное магнитное поле, которое имеет угловую и осевую составляющие, причем последним целесообразно пренебречь в первом приближении.
Результирующее магнитное поле определяется как сумма внешнего магнитного поля индуктора В1 и собственного магнитного поля канала В2. В силу симметрии индукция результирующего магнитного поля В имеет постоянную величину во всех точках окружности произвольного радиуса r в пределах канала.
Для определения В1 целесообразно принять допущение, что длина индуктора бесконечно длинная. Тогда по закону полного тока, модуль магнитной индукции индуктора
(3)
Аналогично по закону полного тока, модуль вектора магнитной индукции В2 определяется как
(4)
Тогда с учетом (3) и (4) можно записать
(5)
При взаимодействии тока канала и результирующего магнитного поля в канале, как известно, возникает электромагнитная сила f, распределение векторов которого показано на рис. 4. Направление векторов сил определены согласно правилу «левой руки».
Рис. 4 – Распределение векторов электромагнитной силы в канале
В отдельно взятой точке конической части канала вектор плотности тока 
в канале может быть разложен на осевую 
и радиальную 
составляющие (рис. 5).
Рис. 5 – Составляющие векторов электромагнитной силы в точке конической части канала
Осевая составляющая электромагнитной силы стремится двигать рабочее вещество в осевом направлении, таким образом, создавая тягу в канале, а радиальная составляющая электромагнитной силы сжимает его в направлении к центру канала.
Плотность вектора электромагнитной силы определяется по соотношению [6]
Вектор электромагнитной силы в канале определяется как интеграл от объема канала V2
, (5)
где dV2 - элемент объема вещества канала. В цилиндрических координатах 
.
Целесообразно представить плотность тока в канале и магнитную через составляющие в цилиндрической системе координат.
(6)
где 
- единичные орты в цилиндрической системе координат.
(7)
Векторное произведение из выражения (5) можно расписать как [7]
Тогда
Очевидно, что 
представляет собой радиальную составляющую электромагнитной силы, а 
- ее осевую составляющую. Знак “-“ в радиальной составляющей означает, что силы направлены к центру канала, т.е. являются сжимающими.
Тогда вектор осевой составляющей электромагнитной силы
Модуль вектора осевой составляющей электромагнитной силы
Аналогично записываются вектор и модуль радиальной составляющей электромагнитной силы
Для проверки адекватности разработанной математической модели было проведено компьютерное моделирование процессов в канале рассмотренного устройства в пакете Comsol Multiphysics. Выбор данной программной среды обусловлен тем, что она имеет широкие возможности задания и гибкой настройки граничных условий между двумя активными частями устройства.
Результаты моделирования в виде распределения векторов электромагнитной силы в канале показан на рис. 6.
Рис. 6 – Распределение векторов электромагнитных сил в канале (нормализованные вектора)
Результаты проведенного моделирования в целом подтверждают адекватность разработанной математической модели, в частности, определения распределения электромагнитных сил в канале, что является также косвенным доказательством вышеизложенных теоретических положений в ходе математического описания процессов в канале рассмотренного МГД-устройства.
Таким образом, не прибегая к решению сложных дифференциальных уравнений, была разработана математическая модель, которая позволяет описывать процессы в канале МГД-устройства с коническим осесимметричным каналом. Полученные уравнения и выражения могут быть использованы для последующего моделирования и расчета процессов с учетом гидродинамических аспектов функционирования МГД-устройства.
Литература
1. Вольдек А.И. Индукционные магнитогидродинамические машины с жидкометаллическим рабочим телом. – Л.: Энергия, 1970. – 271 с.
2. Кирко И. М., Кирко Г. Е. Магнитная гидродинамика. Современное видение проблем.– М.-Ижевск НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». Ижевский Институт компьютерных исследований, 2009. – 632 с.
3. Исмагилов Ф.Р. Исследование электродинамических демпферов с коническим ротором для управляемых амортизационных систем: Автореф. дис. на соиск.учен.степ.канд.техн.наук. – Уфа, 1981.
4. Меренков Ю.Ф. Взаимодействие пульсирующего магнитного поля с жидкой проводящей средой. - Екатеринбург: УрО РАН, 1998. - 190 с.
5. Черняк В. Г., Суетин П. Е. Механика сплошных сред: Учеб. пособ.: Для вузов. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 352 с.
6. Мултановский В.В. Курс теоретической физики. Классическая электродинамика: учеб.пособие для вузов / В.В. Мултановский, А.С. Василевский. – 2-е издание., перераб., - М.: Дрофа, 2006. – 348 с.: ил.
7. Никольский В.А. Электродинамика и распространение электроволн. Учебное пособие. – Главная редакция физико-математической науки изд-ва «Наука», М., 1978. - 608 с.: ил.