Синтез алгоритма интерполяции отрезка прямой для планирования траектории движения вырожденного двухзвенного механизма

Аннотация

О.А. Горлин, Ю.А. Дугин, С.В. Подоров, Д.В. Скрипкин, И.И. Наумов

Рассматривается оригинальный метод интерполяции траектории перемещения рабочего инструмента при использовании вырожденного двухзвенного манипулятора. Метод основан на разделении звеньев на ведущее и ведомое и использовании системы полярных координат для определения приращений углов поворота звеньев. Адаптирован для применения аппартных вычислителей с плавающей точкой.

Ключевые слова: двухзвенный механизм, круговой интерполятор, кинематическая модель, операции с плавающей точкой, статическая точность интерполяции

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

В работе [1] описана кинематическая схема устройства на базе двухзвенного механизма, показаны её преимущества при механической технологической обработке ряда материалов и области возможного применения.
Механизм состоит из круга и сегмента круга одинакового радиуса, являющихся первым и вторым звеном устройства (рис. 1). Круг вращается относительно вертикальной оси, расположенной в начале основной системы координат (точка O на рис. 1). Сегмент закреплён с возможностью вращения в начале дополнительной системы координат (точка O’ на рис. 1), расположенной на краю круга.
На рис. 1 приняты следующие обозначения:
 - угол поворота круга относительно основной системы координат;
 - угол поворота штанги относительно дополнительной системы координат;
a,b - точки концов отрезка ab;
R – радиус звеньев;
- точки концов отрезка ab в полярной системе координат соответственно;
 - угол текущего положения рабочего инструмента в полярной системе координат.

Рис. 1. – Кинематическая схема устройства

Общую постановку задачи интерполяции отрезка прямой можно сформулировать в следующем виде: на основании известных на каждом шаге приращений линейных координат Δx и Δy (x = 0,±1;y = x= 0,±1) определяются приращения угловых координат звеньев механизма  и .
Значения единичных угловых приращений  и  являются конструктивными постоянными механизма. Линейные единичные приращения  и  (шаг линейной интерполяции)  выбираются исходя из желаемой точности линейной интерполяции и значений  и  в соответствии с правилами, изложенными в [2].
На Рис. 1 показано состояние механизма, когда начальная точка отрезка прямой и текущее положение рабочего инструмента (конец радиуса вектора ) совпадают. Известны: текущее положение угловых и линейных координат, а также координат начала второго звена x1,y1 в системе координат, связанной с осью вращения первого звена.
Последовательность операций на один вычислительный цикл шага интерполяции может быть представлена в следующем виде:
- определение линейных координат очередной точки отрезка методами линейной интерполяции;
- определение направления и величины перемещения по угловой координате ;
- определение величины и направления приращения по координате ;
- реализация перемещений в режиме реального времени;
- переход к очередному шагу интерполяции.
Процедура линейной интерполяции достаточно просто может быть реализована на основании алгоритма Брезенхейма, применяющегося при построении линий средствами растровой графики (используется для мониторов ПК).
Для определения приращения по угловой координате  перейдем к полярной системе координат, центр которой совмещен с центром основной декартовой системы координат xy, а полярная ось направлена по оси x декартовой системы, определим в этой системе координаты положения очередной точки исходя из соотношений:
       (1)
Отсюда полное приращение по угловой координате  будет равно:
     (2)
Здесь необходимо отметить, что все расчеты, связанные с определением приращения угловых координат  и  выполняются с использованием арифметики с плавающей точкой, а система управления работает с целочисленной арифметикой, поэтому угловое перемещение на каждом шаге интерполяции может определяться из соотношения:
     (3)
Здесь  - число шагов единичного перемещения по угловой координате  на текущем шаге интерполяции, определяемое как целая часть частного от деления .
Предложенная методика расчета позволяет избежать ошибки округления на каждом шаге интерполяции т.к. величины  и  представлены в формате чисел с плавающей точкой и корректировке в процессе интерполяции не подвергаются.

Рис. 2. – Геометрическое представление приращения угловых координат

На рис. 2 приведена геометрическая интерпретация процедуры расчета приращения угловой координаты . Здесь показано положение звеньев механизма на i-том и i+1 –ом  шаге интерполяции. Положения начала второго звена на i-том и i+1 -ом  шаге интерполяции обозначены на рисунке как точки A и A’. Положения конечной точки второго звена (инструмента) для этих случаев обозначены как B и B’ соответственно. Таким образом, абсолютное значение угловой координаты   в системе координат X’OY’ (рис. 1) на i+1 шаге интерполяции может быть определено исходя из геометрических параметров треугольника OA’B’, три стороны и один угол которого известны по результатам предыдущего этапа расчета параметров очередного шага интерполяции. Используя известную теорему синусов для треугольника OA’B’ можно записать в виде:
       (4)
Здесь . Значение угловой координаты соответственно равно:
      (5)
По аналогии с определением числа элементарных угловых приращений по координате  число элементарных угловых перемещений по координате  можно определить как целую часть выражения:
     (6)
Основным преимуществом метода, предложенного в данной работе, является постоянная статическая точность интерполяции. Конечная погрешность предлагаемого метода не зависит от числа отрезков полилиний, составляющих контур обрабатываемой детали, и по обеим координатам не превышает величины шага интерполяции  и  на всей рабочей поверхности механизма.
Предложенный алгоритм интерполяции был реализован в виде программного кода на языке С++ в среде Borland. Тестирование программы показало полную работоспособность алгоритма. Методика интерполяции, предложенная в данной работе, была опробована на опытном образце устройства. В качестве вычислителя был использован микроконтроллер STM32F107 с ядром CortexM3, которое поддерживает арифметику с плавающей точкой. Опытным путем было установлено, что время расчета параметров одного интерполяционного шага составляет 20 мкс, что существенно меньше временного шага интерполяции, рассчитанного исходя из требуемой технологической скорости перемещения рабочего инструмента 2 м/мин и линейном шаге интерполяции  Δ_x = Δ_y= 0,05 мм.
Таким образом, предложенный метод интерполяции превосходит по вычислительным затратам предложенный [2] и может быть рекомендован для использования в системе управления технологическими устройствами на базе вырожденного двухзвенного механизма.
Работа выполнена в рамках федеральной целевой программы ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009-2013 годы

Литература:

1. Манипулятор [Текст]: пат. 2399478 Российская Федерация, МПК В25J11/00 / Валюкевич Ю.А., Наумов И.И., Алепко А.В., заявитель и патентообладатель ГОУ ВПО «ЮРГУЭС». - № 2008152518/02, заявл. 29.12.2008; опубл. 20.09.2010, Бюл. № 26.
2. Валюкевич Ю.А., Наумов И.И. Устройство обработки плоских материалов на базе двухзвенного механизма [Текст]// Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета, 2010. – № 95. – С.177-181.